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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
2.
Encuentre, si las hay, las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (tanto para $x \rightarrow +\infty$ como para $x \rightarrow -\infty$) de las siguientes funciones. Localice en un dibujo, la posición del gráfico de la función con respecto a las asíntotas halladas
b) $f(x)=\frac{x^{2}-3 x+2}{(x-1)(x+1)}$
b) $f(x)=\frac{x^{2}-3 x+2}{(x-1)(x+1)}$
Respuesta
Asíntotas verticales
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Como el dominio de $f$ es $\mathbb{R} - \{-1,1\}$, entonces $x=-1$ y $x=1$ son nuestros candidatos a asíntota vertical. Para ver si efectivamente lo es necesitamos tomar los límites:
👉 En $x=-1$
En este caso el numerador tiende a un número (tiende a $6$) y el denominador tiende a cero. Así que esto efectivamente se va a estar yendo a infinito y tendremos asíntota vertical. Para ver el signo abrimos por derecha y por izquierda:
$\lim_{x \rightarrow -1^-} \frac{x^{2}-3x+2}{(x-1)(x+1)}=+\infty$.
$\lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{x^{2}-3x+2}{(x-1)(x+1)}=-\infty$.
En conclusión, en $x=-1$ tenemos asíntota vertical.
👉 En $x=1$
Ojo que en este caso el denominador tiende a cero, pero el numerador también! Estamos frente a una indeterminación de tipo cero sobre cero:
$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-3x+2}{(x-1)(x+1)} $
Aplicamos L'Hopital, nos queda:
$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{2x-3}{2x} = -\frac{1}{2} $
Por lo tanto, en $x=1$ no hay asíntota vertical.
Asintotas horizontales
Para estudiar si hay asíntotas horizontales, tenemos que tomar límite cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$ \lim_{x \rightarrow \pm\infty} \frac{x^{2}-3x+2}{(x-1)(x+1)}= \lim_{x \rightarrow \pm\infty} \frac{x^2-3x+2}{x^2 -1} = 1$
Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota horizontal en $y = 1$ tanto en $+$ como en $-\infty$.
Como ya tenemos asíntotas horizontales no es posible tener oblicuas, así que no las estudiamos.